Algèbre linéaire Exemples

$[\begin{array}{c} 2 & 3 & - 1 & 0 \\ 1 & 2 & 4 & 3 \\ - 2 & 1 & 3 & 2 \\ - 1 & - 2 & - 3 & 0 \end{array}]$

Étape 1

Définissez la formule pour déterminer l’équation caractéristique

$p (λ)$ .

$p (λ) = déterminant (A - λ I_{4})$

Étape 2

La matrice d’identité ou matrice d’unité de taille

$4$ est la matrice carrée

$4 \times 4$ avec les uns sur la diagonale principale et les zéros ailleurs.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Étape 3

Remplacez les valeurs connues dans

$p (λ) = déterminant (A - λ I_{4})$ .

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Étape 3.1

Remplacez

$A$ par

$[\begin{array}{c} 2 & 3 & - 1 & 0 \\ 1 & 2 & 4 & 3 \\ - 2 & 1 & 3 & 2 \\ - 1 & - 2 & - 3 & 0 \end{array}]$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 2 & 3 & - 1 & 0 \\ 1 & 2 & 4 & 3 \\ - 2 & 1 & 3 & 2 \\ - 1 & - 2 & - 3 & 0 \end{array}] - λ I_{4})$

Étape 3.2

Remplacez

$I_{4}$ par

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 2 & 3 & - 1 & 0 \\ 1 & 2 & 4 & 3 \\ - 2 & 1 & 3 & 2 \\ - 1 & - 2 & - 3 & 0 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Multipliez

$- λ$ par chaque élément de la matrice.

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 2 & 3 & - 1 & 0 \\ 1 & 2 & 4 & 3 \\ - 2 & 1 & 3 & 2 \\ - 1 & - 2 & - 3 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 4.1.2.1

Multipliez

$- 1$ par

$1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 2 & 3 & - 1 & 0 \\ 1 & 2 & 4 & 3 \\ - 2 & 1 & 3 & 2 \\ - 1 & - 2 & - 3 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.2

Multipliez

$- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.2.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 2 & 3 & - 1 & 0 \\ 1 & 2 & 4 & 3 \\ - 2 & 1 & 3 & 2 \\ - 1 & - 2 & - 3 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.2.2

Multipliez

$0$ par

$λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 2 & 3 & - 1 & 0 \\ 1 & 2 & 4 & 3 \\ - 2 & 1 & 3 & 2 \\ - 1 & - 2 & - 3 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.3

Multipliez

$- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.3.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 2 & 3 & - 1 & 0 \\ 1 & 2 & 4 & 3 \\ - 2 & 1 & 3 & 2 \\ - 1 & - 2 & - 3 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.3.2

Multipliez

$0$ par

$λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 2 & 3 & - 1 & 0 \\ 1 & 2 & 4 & 3 \\ - 2 & 1 & 3 & 2 \\ - 1 & - 2 & - 3 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.4

Multipliez

$- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.4.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 2 & 3 & - 1 & 0 \\ 1 & 2 & 4 & 3 \\ - 2 & 1 & 3 & 2 \\ - 1 & - 2 & - 3 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.4.2

Multipliez

$0$ par

$λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 2 & 3 & - 1 & 0 \\ 1 & 2 & 4 & 3 \\ - 2 & 1 & 3 & 2 \\ - 1 & - 2 & - 3 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.5

Multipliez

$- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.5.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 2 & 3 & - 1 & 0 \\ 1 & 2 & 4 & 3 \\ - 2 & 1 & 3 & 2 \\ - 1 & - 2 & - 3 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.5.2

Multipliez

$0$ par

$λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 2 & 3 & - 1 & 0 \\ 1 & 2 & 4 & 3 \\ - 2 & 1 & 3 & 2 \\ - 1 & - 2 & - 3 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.6

Multipliez

$- 1$ par

$1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 2 & 3 & - 1 & 0 \\ 1 & 2 & 4 & 3 \\ - 2 & 1 & 3 & 2 \\ - 1 & - 2 & - 3 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.7

Multipliez

$- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.7.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 2 & 3 & - 1 & 0 \\ 1 & 2 & 4 & 3 \\ - 2 & 1 & 3 & 2 \\ - 1 & - 2 & - 3 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.7.2

Multipliez

$0$ par

$λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 2 & 3 & - 1 & 0 \\ 1 & 2 & 4 & 3 \\ - 2 & 1 & 3 & 2 \\ - 1 & - 2 & - 3 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.8

Multipliez

$- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.8.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 2 & 3 & - 1 & 0 \\ 1 & 2 & 4 & 3 \\ - 2 & 1 & 3 & 2 \\ - 1 & - 2 & - 3 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.8.2

Multipliez

$0$ par

$λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 2 & 3 & - 1 & 0 \\ 1 & 2 & 4 & 3 \\ - 2 & 1 & 3 & 2 \\ - 1 & - 2 & - 3 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.9

Multipliez

$- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.9.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 2 & 3 & - 1 & 0 \\ 1 & 2 & 4 & 3 \\ - 2 & 1 & 3 & 2 \\ - 1 & - 2 & - 3 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.9.2

Multipliez

$0$ par

$λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 2 & 3 & - 1 & 0 \\ 1 & 2 & 4 & 3 \\ - 2 & 1 & 3 & 2 \\ - 1 & - 2 & - 3 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.10

Multipliez

$- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.10.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 2 & 3 & - 1 & 0 \\ 1 & 2 & 4 & 3 \\ - 2 & 1 & 3 & 2 \\ - 1 & - 2 & - 3 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.10.2

Multipliez

$0$ par

$λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 2 & 3 & - 1 & 0 \\ 1 & 2 & 4 & 3 \\ - 2 & 1 & 3 & 2 \\ - 1 & - 2 & - 3 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.11

Multipliez

$- 1$ par

$1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 2 & 3 & - 1 & 0 \\ 1 & 2 & 4 & 3 \\ - 2 & 1 & 3 & 2 \\ - 1 & - 2 & - 3 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.12

Multipliez

$- λ \cdot 0$ .

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Étape 4.1.2.12.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 2 & 3 & - 1 & 0 \\ 1 & 2 & 4 & 3 \\ - 2 & 1 & 3 & 2 \\ - 1 & - 2 & - 3 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.12.2

Multipliez

$0$ par

$λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 2 & 3 & - 1 & 0 \\ 1 & 2 & 4 & 3 \\ - 2 & 1 & 3 & 2 \\ - 1 & - 2 & - 3 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.13

Multipliez

$- λ \cdot 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.13.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 2 & 3 & - 1 & 0 \\ 1 & 2 & 4 & 3 \\ - 2 & 1 & 3 & 2 \\ - 1 & - 2 & - 3 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.13.2

Multipliez

$0$ par

$λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 2 & 3 & - 1 & 0 \\ 1 & 2 & 4 & 3 \\ - 2 & 1 & 3 & 2 \\ - 1 & - 2 & - 3 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.14

Multipliez

$- λ \cdot 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.14.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 2 & 3 & - 1 & 0 \\ 1 & 2 & 4 & 3 \\ - 2 & 1 & 3 & 2 \\ - 1 & - 2 & - 3 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.14.2

Multipliez

$0$ par

$λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 2 & 3 & - 1 & 0 \\ 1 & 2 & 4 & 3 \\ - 2 & 1 & 3 & 2 \\ - 1 & - 2 & - 3 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.15

Multipliez

$- λ \cdot 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.15.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 2 & 3 & - 1 & 0 \\ 1 & 2 & 4 & 3 \\ - 2 & 1 & 3 & 2 \\ - 1 & - 2 & - 3 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.15.2

Multipliez

$0$ par

$λ$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 2 & 3 & - 1 & 0 \\ 1 & 2 & 4 & 3 \\ - 2 & 1 & 3 & 2 \\ - 1 & - 2 & - 3 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Étape 4.1.2.16

Multipliez

$- 1$ par

$1$ .

$p (λ) = déterminant ([\begin{array}{c} 2 & 3 & - 1 & 0 \\ 1 & 2 & 4 & 3 \\ - 2 & 1 & 3 & 2 \\ - 1 & - 2 & - 3 & 0 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Étape 4.2

Additionnez les éléments correspondants.

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 2 - λ & 3 + 0 & - 1 + 0 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 2 - λ & 4 + 0 & 3 + 0 \\ - 2 + 0 & 1 + 0 & 3 - λ & 2 + 0 \\ - 1 + 0 & - 2 + 0 & - 3 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Étape 4.3

Simplify each element.

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Étape 4.3.1

Additionnez

$3$ et

$0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 2 - λ & 3 & - 1 + 0 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 2 - λ & 4 + 0 & 3 + 0 \\ - 2 + 0 & 1 + 0 & 3 - λ & 2 + 0 \\ - 1 + 0 & - 2 + 0 & - 3 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.2

Additionnez

$- 1$ et

$0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 2 - λ & 3 & - 1 & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 2 - λ & 4 + 0 & 3 + 0 \\ - 2 + 0 & 1 + 0 & 3 - λ & 2 + 0 \\ - 1 + 0 & - 2 + 0 & - 3 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.3

Additionnez

$0$ et

$0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 2 - λ & 3 & - 1 & 0 \\ 1 + 0 & 2 - λ & 4 + 0 & 3 + 0 \\ - 2 + 0 & 1 + 0 & 3 - λ & 2 + 0 \\ - 1 + 0 & - 2 + 0 & - 3 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.4

Additionnez

$1$ et

$0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 2 - λ & 3 & - 1 & 0 \\ 1 & 2 - λ & 4 + 0 & 3 + 0 \\ - 2 + 0 & 1 + 0 & 3 - λ & 2 + 0 \\ - 1 + 0 & - 2 + 0 & - 3 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.5

Additionnez

$4$ et

$0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 2 - λ & 3 & - 1 & 0 \\ 1 & 2 - λ & 4 & 3 + 0 \\ - 2 + 0 & 1 + 0 & 3 - λ & 2 + 0 \\ - 1 + 0 & - 2 + 0 & - 3 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.6

Additionnez

$3$ et

$0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 2 - λ & 3 & - 1 & 0 \\ 1 & 2 - λ & 4 & 3 \\ - 2 + 0 & 1 + 0 & 3 - λ & 2 + 0 \\ - 1 + 0 & - 2 + 0 & - 3 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.7

Additionnez

$- 2$ et

$0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 2 - λ & 3 & - 1 & 0 \\ 1 & 2 - λ & 4 & 3 \\ - 2 & 1 + 0 & 3 - λ & 2 + 0 \\ - 1 + 0 & - 2 + 0 & - 3 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.8

Additionnez

$1$ et

$0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 2 - λ & 3 & - 1 & 0 \\ 1 & 2 - λ & 4 & 3 \\ - 2 & 1 & 3 - λ & 2 + 0 \\ - 1 + 0 & - 2 + 0 & - 3 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.9

Additionnez

$2$ et

$0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 2 - λ & 3 & - 1 & 0 \\ 1 & 2 - λ & 4 & 3 \\ - 2 & 1 & 3 - λ & 2 \\ - 1 + 0 & - 2 + 0 & - 3 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.10

Additionnez

$- 1$ et

$0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 2 - λ & 3 & - 1 & 0 \\ 1 & 2 - λ & 4 & 3 \\ - 2 & 1 & 3 - λ & 2 \\ - 1 & - 2 + 0 & - 3 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.11

Additionnez

$- 2$ et

$0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 2 - λ & 3 & - 1 & 0 \\ 1 & 2 - λ & 4 & 3 \\ - 2 & 1 & 3 - λ & 2 \\ - 1 & - 2 & - 3 + 0 & 0 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.12

Additionnez

$- 3$ et

$0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 2 - λ & 3 & - 1 & 0 \\ 1 & 2 - λ & 4 & 3 \\ - 2 & 1 & 3 - λ & 2 \\ - 1 & - 2 & - 3 & 0 - λ \end{array}]$

Étape 4.3.13

Soustrayez

$λ$ de

$0$ .

$p (λ) = déterminant [\begin{array}{c} 2 - λ & 3 & - 1 & 0 \\ 1 & 2 - λ & 4 & 3 \\ - 2 & 1 & 3 - λ & 2 \\ - 1 & - 2 & - 3 & - λ \end{array}]$

Étape 5

Find the determinant.

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Étape 5.1

Choose the row or column with the most

$0$ elements. If there are no

$0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row

$1$ by its cofactor and add.

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Étape 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + & - \\ - & + & - & + \\ + & - & + & - \\ - & + & - & + \end{array} |$

Étape 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a

$-$ position on the sign chart.

Étape 5.1.3

The minor for

$a_{11}$ is the determinant with row

$1$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 2 - λ & 4 & 3 \\ 1 & 3 - λ & 2 \\ - 2 & - 3 & - λ \end{array} |$

Étape 5.1.4

Multiply element

$a_{11}$ by its cofactor.

$(2 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & 4 & 3 \\ 1 & 3 - λ & 2 \\ - 2 & - 3 & - λ \end{array} |$

Étape 5.1.5

The minor for

$a_{12}$ is the determinant with row

$1$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 4 & 3 \\ - 2 & 3 - λ & 2 \\ - 1 & - 3 & - λ \end{array} |$

Étape 5.1.6

Multiply element

$a_{12}$ by its cofactor.

$- 3 | \begin{array}{c} 1 & 4 & 3 \\ - 2 & 3 - λ & 2 \\ - 1 & - 3 & - λ \end{array} |$

Étape 5.1.7

The minor for

$a_{13}$ is the determinant with row

$1$ and column

$3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 2 - λ & 3 \\ - 2 & 1 & 2 \\ - 1 & - 2 & - λ \end{array} |$

Étape 5.1.8

Multiply element

$a_{13}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ & 3 \\ - 2 & 1 & 2 \\ - 1 & - 2 & - λ \end{array} |$

Étape 5.1.9

The minor for

$a_{14}$ is the determinant with row

$1$ and column

$4$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 2 - λ & 4 \\ - 2 & 1 & 3 - λ \\ - 1 & - 2 & - 3 \end{array} |$

Étape 5.1.10

Multiply element

$a_{14}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ & 4 \\ - 2 & 1 & 3 - λ \\ - 1 & - 2 & - 3 \end{array} |$

Étape 5.1.11

Add the terms together.

$p (λ) = (2 - λ) | \begin{array}{c} 2 - λ & 4 & 3 \\ 1 & 3 - λ & 2 \\ - 2 & - 3 & - λ \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} 1 & 4 & 3 \\ - 2 & 3 - λ & 2 \\ - 1 & - 3 & - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ & 3 \\ - 2 & 1 & 2 \\ - 1 & - 2 & - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ & 4 \\ - 2 & 1 & 3 - λ \\ - 1 & - 2 & - 3 \end{array} |$

Étape 5.2

Multipliez

$0$ par

$| \begin{array}{c} 1 & 2 - λ & 4 \\ - 2 & 1 & 3 - λ \\ - 1 & - 2 & - 3 \end{array} |$ .

Étape 5.3

Évaluez

$| \begin{array}{c} 2 - λ & 4 & 3 \\ 1 & 3 - λ & 2 \\ - 2 & - 3 & - λ \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

Choose the row or column with the most

$0$ elements. If there are no

$0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row

$1$ by its cofactor and add.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 5.3.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a

$-$ position on the sign chart.

Étape 5.3.1.3

The minor for

$a_{11}$ is the determinant with row

$1$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 - λ & 2 \\ - 3 & - λ \end{array} |$

Étape 5.3.1.4

Multiply element

$a_{11}$ by its cofactor.

$(2 - λ) | \begin{array}{c} 3 - λ & 2 \\ - 3 & - λ \end{array} |$

Étape 5.3.1.5

The minor for

$a_{12}$ is the determinant with row

$1$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ - 2 & - λ \end{array} |$

Étape 5.3.1.6

Multiply element

$a_{12}$ by its cofactor.

$- 4 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ - 2 & - λ \end{array} |$

Étape 5.3.1.7

The minor for

$a_{13}$ is the determinant with row

$1$ and column

$3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Étape 5.3.1.8

Multiply element

$a_{13}$ by its cofactor.

$3 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ - 2 & - 3 \end{array} |$

Étape 5.3.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (2 - λ) ((2 - λ) | \begin{array}{c} 3 - λ & 2 \\ - 3 & - λ \end{array} | - 4 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ - 2 & - λ \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ - 2 & - 3 \end{array} |) - 3 | \begin{array}{c} 1 & 4 & 3 \\ - 2 & 3 - λ & 2 \\ - 1 & - 3 & - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ & 3 \\ - 2 & 1 & 2 \\ - 1 & - 2 & - λ \end{array} | + 0$

Étape 5.3.2

Évaluez

$| \begin{array}{c} 3 - λ & 2 \\ - 3 & - λ \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (2 - λ) ((2 - λ) ((3 - λ) (- λ) - (- 3 \cdot 2)) - 4 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ - 2 & - λ \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ - 2 & - 3 \end{array} |) - 3 | \begin{array}{c} 1 & 4 & 3 \\ - 2 & 3 - λ & 2 \\ - 1 & - 3 & - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ & 3 \\ - 2 & 1 & 2 \\ - 1 & - 2 & - λ \end{array} | + 0$

Étape 5.3.2.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (2 - λ) ((2 - λ) (3 (- λ) - λ (- λ) - (- 3 \cdot 2)) - 4 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ - 2 & - λ \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ - 2 & - 3 \end{array} |) - 3 | \begin{array}{c} 1 & 4 & 3 \\ - 2 & 3 - λ & 2 \\ - 1 & - 3 & - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ & 3 \\ - 2 & 1 & 2 \\ - 1 & - 2 & - λ \end{array} | + 0$

Étape 5.3.2.2.1.2

Multipliez

$- 1$ par

$3$ .

$p (λ) = (2 - λ) ((2 - λ) (- 3 λ - λ (- λ) - (- 3 \cdot 2)) - 4 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ - 2 & - λ \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ - 2 & - 3 \end{array} |) - 3 | \begin{array}{c} 1 & 4 & 3 \\ - 2 & 3 - λ & 2 \\ - 1 & - 3 & - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ & 3 \\ - 2 & 1 & 2 \\ - 1 & - 2 & - λ \end{array} | + 0$

Étape 5.3.2.2.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = (2 - λ) ((2 - λ) (- 3 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - (- 3 \cdot 2)) - 4 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ - 2 & - λ \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ - 2 & - 3 \end{array} |) - 3 | \begin{array}{c} 1 & 4 & 3 \\ - 2 & 3 - λ & 2 \\ - 1 & - 3 & - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ & 3 \\ - 2 & 1 & 2 \\ - 1 & - 2 & - λ \end{array} | + 0$

Étape 5.3.2.2.1.4

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.2.1.4.1

Multipliez

$λ$ par

$λ$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.3.2.2.1.4.1.1

Déplacez

$λ$ .

$p (λ) = (2 - λ) ((2 - λ) (- 3 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - (- 3 \cdot 2)) - 4 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ - 2 & - λ \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ - 2 & - 3 \end{array} |) - 3 | \begin{array}{c} 1 & 4 & 3 \\ - 2 & 3 - λ & 2 \\ - 1 & - 3 & - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ & 3 \\ - 2 & 1 & 2 \\ - 1 & - 2 & - λ \end{array} | + 0$

Étape 5.3.2.2.1.4.1.2

Multipliez

$λ$ par

$λ$ .

$p (λ) = (2 - λ) ((2 - λ) (- 3 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 3 \cdot 2)) - 4 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ - 2 & - λ \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ - 2 & - 3 \end{array} |) - 3 | \begin{array}{c} 1 & 4 & 3 \\ - 2 & 3 - λ & 2 \\ - 1 & - 3 & - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ & 3 \\ - 2 & 1 & 2 \\ - 1 & - 2 & - λ \end{array} | + 0$

Étape 5.3.2.2.1.4.2

Multipliez

$- 1$ par

$- 1$ .

$p (λ) = (2 - λ) ((2 - λ) (- 3 λ + 1 λ^{2} - (- 3 \cdot 2)) - 4 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ - 2 & - λ \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ - 2 & - 3 \end{array} |) - 3 | \begin{array}{c} 1 & 4 & 3 \\ - 2 & 3 - λ & 2 \\ - 1 & - 3 & - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ & 3 \\ - 2 & 1 & 2 \\ - 1 & - 2 & - λ \end{array} | + 0$

Étape 5.3.2.2.1.4.3

Multipliez

$λ^{2}$ par

$1$ .

$p (λ) = (2 - λ) ((2 - λ) (- 3 λ + λ^{2} - (- 3 \cdot 2)) - 4 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ - 2 & - λ \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ - 2 & - 3 \end{array} |) - 3 | \begin{array}{c} 1 & 4 & 3 \\ - 2 & 3 - λ & 2 \\ - 1 & - 3 & - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ & 3 \\ - 2 & 1 & 2 \\ - 1 & - 2 & - λ \end{array} | + 0$

Étape 5.3.2.2.1.5

Multipliez

$- (- 3 \cdot 2)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.2.1.5.1

Multipliez

$- 3$ par

$2$ .

$p (λ) = (2 - λ) ((2 - λ) (- 3 λ + λ^{2} - - 6) - 4 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ - 2 & - λ \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ - 2 & - 3 \end{array} |) - 3 | \begin{array}{c} 1 & 4 & 3 \\ - 2 & 3 - λ & 2 \\ - 1 & - 3 & - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ & 3 \\ - 2 & 1 & 2 \\ - 1 & - 2 & - λ \end{array} | + 0$

Étape 5.3.2.2.1.5.2

Multipliez

$- 1$ par

$- 6$ .

$p (λ) = (2 - λ) ((2 - λ) (- 3 λ + λ^{2} + 6) - 4 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ - 2 & - λ \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ - 2 & - 3 \end{array} |) - 3 | \begin{array}{c} 1 & 4 & 3 \\ - 2 & 3 - λ & 2 \\ - 1 & - 3 & - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ & 3 \\ - 2 & 1 & 2 \\ - 1 & - 2 & - λ \end{array} | + 0$

Étape 5.3.2.2.2

Remettez dans l’ordre

$- 3 λ$ et

$λ^{2}$ .

$p (λ) = (2 - λ) ((2 - λ) (λ^{2} - 3 λ + 6) - 4 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ - 2 & - λ \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ - 2 & - 3 \end{array} |) - 3 | \begin{array}{c} 1 & 4 & 3 \\ - 2 & 3 - λ & 2 \\ - 1 & - 3 & - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ & 3 \\ - 2 & 1 & 2 \\ - 1 & - 2 & - λ \end{array} | + 0$

Étape 5.3.3

Évaluez

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ - 2 & - λ \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (2 - λ) ((2 - λ) (λ^{2} - 3 λ + 6) - 4 (1 (- λ) - (- 2 \cdot 2)) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ - 2 & - 3 \end{array} |) - 3 | \begin{array}{c} 1 & 4 & 3 \\ - 2 & 3 - λ & 2 \\ - 1 & - 3 & - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ & 3 \\ - 2 & 1 & 2 \\ - 1 & - 2 & - λ \end{array} | + 0$

Étape 5.3.3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.2.1

Multipliez

$- λ$ par

$1$ .

$p (λ) = (2 - λ) ((2 - λ) (λ^{2} - 3 λ + 6) - 4 (- λ - (- 2 \cdot 2)) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ - 2 & - 3 \end{array} |) - 3 | \begin{array}{c} 1 & 4 & 3 \\ - 2 & 3 - λ & 2 \\ - 1 & - 3 & - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ & 3 \\ - 2 & 1 & 2 \\ - 1 & - 2 & - λ \end{array} | + 0$

Étape 5.3.3.2.2

Multipliez

$- (- 2 \cdot 2)$ .

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Étape 5.3.3.2.2.1

Multipliez

$- 2$ par

$2$ .

$p (λ) = (2 - λ) ((2 - λ) (λ^{2} - 3 λ + 6) - 4 (- λ - - 4) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ - 2 & - 3 \end{array} |) - 3 | \begin{array}{c} 1 & 4 & 3 \\ - 2 & 3 - λ & 2 \\ - 1 & - 3 & - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ & 3 \\ - 2 & 1 & 2 \\ - 1 & - 2 & - λ \end{array} | + 0$

Étape 5.3.3.2.2.2

Multipliez

$- 1$ par

$- 4$ .

$p (λ) = (2 - λ) ((2 - λ) (λ^{2} - 3 λ + 6) - 4 (- λ + 4) + 3 | \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ - 2 & - 3 \end{array} |) - 3 | \begin{array}{c} 1 & 4 & 3 \\ - 2 & 3 - λ & 2 \\ - 1 & - 3 & - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ & 3 \\ - 2 & 1 & 2 \\ - 1 & - 2 & - λ \end{array} | + 0$

Étape 5.3.4

Évaluez

$| \begin{array}{c} 1 & 3 - λ \\ - 2 & - 3 \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.4.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (2 - λ) ((2 - λ) (λ^{2} - 3 λ + 6) - 4 (- λ + 4) + 3 (1 \cdot - 3 - (- 2 (3 - λ)))) - 3 | \begin{array}{c} 1 & 4 & 3 \\ - 2 & 3 - λ & 2 \\ - 1 & - 3 & - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ & 3 \\ - 2 & 1 & 2 \\ - 1 & - 2 & - λ \end{array} | + 0$

Étape 5.3.4.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.3.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.4.2.1.1

Multipliez

$- 3$ par

$1$ .

$p (λ) = (2 - λ) ((2 - λ) (λ^{2} - 3 λ + 6) - 4 (- λ + 4) + 3 (- 3 - (- 2 (3 - λ)))) - 3 | \begin{array}{c} 1 & 4 & 3 \\ - 2 & 3 - λ & 2 \\ - 1 & - 3 & - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ & 3 \\ - 2 & 1 & 2 \\ - 1 & - 2 & - λ \end{array} | + 0$

Étape 5.3.4.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (2 - λ) ((2 - λ) (λ^{2} - 3 λ + 6) - 4 (- λ + 4) + 3 (- 3 - (- 2 \cdot 3 - 2 (- λ)))) - 3 | \begin{array}{c} 1 & 4 & 3 \\ - 2 & 3 - λ & 2 \\ - 1 & - 3 & - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ & 3 \\ - 2 & 1 & 2 \\ - 1 & - 2 & - λ \end{array} | + 0$

Étape 5.3.4.2.1.3

Multipliez

$- 2$ par

$3$ .

$p (λ) = (2 - λ) ((2 - λ) (λ^{2} - 3 λ + 6) - 4 (- λ + 4) + 3 (- 3 - (- 6 - 2 (- λ)))) - 3 | \begin{array}{c} 1 & 4 & 3 \\ - 2 & 3 - λ & 2 \\ - 1 & - 3 & - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ & 3 \\ - 2 & 1 & 2 \\ - 1 & - 2 & - λ \end{array} | + 0$

Étape 5.3.4.2.1.4

Multipliez

$- 1$ par

$- 2$ .

$p (λ) = (2 - λ) ((2 - λ) (λ^{2} - 3 λ + 6) - 4 (- λ + 4) + 3 (- 3 - (- 6 + 2 λ))) - 3 | \begin{array}{c} 1 & 4 & 3 \\ - 2 & 3 - λ & 2 \\ - 1 & - 3 & - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ & 3 \\ - 2 & 1 & 2 \\ - 1 & - 2 & - λ \end{array} | + 0$

Étape 5.3.4.2.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (2 - λ) ((2 - λ) (λ^{2} - 3 λ + 6) - 4 (- λ + 4) + 3 (- 3 - - 6 - (2 λ))) - 3 | \begin{array}{c} 1 & 4 & 3 \\ - 2 & 3 - λ & 2 \\ - 1 & - 3 & - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ & 3 \\ - 2 & 1 & 2 \\ - 1 & - 2 & - λ \end{array} | + 0$

Étape 5.3.4.2.1.6

Multipliez

$- 1$ par

$- 6$ .

$p (λ) = (2 - λ) ((2 - λ) (λ^{2} - 3 λ + 6) - 4 (- λ + 4) + 3 (- 3 + 6 - (2 λ))) - 3 | \begin{array}{c} 1 & 4 & 3 \\ - 2 & 3 - λ & 2 \\ - 1 & - 3 & - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ & 3 \\ - 2 & 1 & 2 \\ - 1 & - 2 & - λ \end{array} | + 0$

Étape 5.3.4.2.1.7

Multipliez

$2$ par

$- 1$ .

$p (λ) = (2 - λ) ((2 - λ) (λ^{2} - 3 λ + 6) - 4 (- λ + 4) + 3 (- 3 + 6 - 2 λ)) - 3 | \begin{array}{c} 1 & 4 & 3 \\ - 2 & 3 - λ & 2 \\ - 1 & - 3 & - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ & 3 \\ - 2 & 1 & 2 \\ - 1 & - 2 & - λ \end{array} | + 0$

Étape 5.3.4.2.2

Additionnez

$- 3$ et

$6$ .

$p (λ) = (2 - λ) ((2 - λ) (λ^{2} - 3 λ + 6) - 4 (- λ + 4) + 3 (3 - 2 λ)) - 3 | \begin{array}{c} 1 & 4 & 3 \\ - 2 & 3 - λ & 2 \\ - 1 & - 3 & - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ & 3 \\ - 2 & 1 & 2 \\ - 1 & - 2 & - λ \end{array} | + 0$

Étape 5.3.4.2.3

Remettez dans l’ordre

$3$ et

$- 2 λ$ .

$p (λ) = (2 - λ) ((2 - λ) (λ^{2} - 3 λ + 6) - 4 (- λ + 4) + 3 (- 2 λ + 3)) - 3 | \begin{array}{c} 1 & 4 & 3 \\ - 2 & 3 - λ & 2 \\ - 1 & - 3 & - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ & 3 \\ - 2 & 1 & 2 \\ - 1 & - 2 & - λ \end{array} | + 0$

Étape 5.3.5

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.5.1.1

Développez

$(2 - λ) (λ^{2} - 3 λ + 6)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$p (λ) = (2 - λ) (2 λ^{2} + 2 (- 3 λ) + 2 \cdot 6 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 3 λ) - λ \cdot 6 - 4 (- λ + 4) + 3 (- 2 λ + 3)) - 3 | \begin{array}{c} 1 & 4 & 3 \\ - 2 & 3 - λ & 2 \\ - 1 & - 3 & - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ & 3 \\ - 2 & 1 & 2 \\ - 1 & - 2 & - λ \end{array} | + 0$

Étape 5.3.5.1.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.5.1.2.1

Multipliez

$- 3$ par

$2$ .

$p (λ) = (2 - λ) (2 λ^{2} - 6 λ + 2 \cdot 6 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 3 λ) - λ \cdot 6 - 4 (- λ + 4) + 3 (- 2 λ + 3)) - 3 | \begin{array}{c} 1 & 4 & 3 \\ - 2 & 3 - λ & 2 \\ - 1 & - 3 & - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ & 3 \\ - 2 & 1 & 2 \\ - 1 & - 2 & - λ \end{array} | + 0$

Étape 5.3.5.1.2.2

Multipliez

$2$ par

$6$ .

$p (λ) = (2 - λ) (2 λ^{2} - 6 λ + 12 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 3 λ) - λ \cdot 6 - 4 (- λ + 4) + 3 (- 2 λ + 3)) - 3 | \begin{array}{c} 1 & 4 & 3 \\ - 2 & 3 - λ & 2 \\ - 1 & - 3 & - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ & 3 \\ - 2 & 1 & 2 \\ - 1 & - 2 & - λ \end{array} | + 0$

Étape 5.3.5.1.2.3

Multipliez

$λ$ par

$λ^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.5.1.2.3.1

Déplacez

$λ^{2}$ .

$p (λ) = (2 - λ) (2 λ^{2} - 6 λ + 12 - (λ^{2} λ) - λ (- 3 λ) - λ \cdot 6 - 4 (- λ + 4) + 3 (- 2 λ + 3)) - 3 | \begin{array}{c} 1 & 4 & 3 \\ - 2 & 3 - λ & 2 \\ - 1 & - 3 & - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ & 3 \\ - 2 & 1 & 2 \\ - 1 & - 2 & - λ \end{array} | + 0$

Étape 5.3.5.1.2.3.2

Multipliez

$λ^{2}$ par

$λ$ .

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Étape 5.3.5.1.2.3.2.1

Élevez

$λ$ à la puissance

$1$ .

$p (λ) = (2 - λ) (2 λ^{2} - 6 λ + 12 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 3 λ) - λ \cdot 6 - 4 (- λ + 4) + 3 (- 2 λ + 3)) - 3 | \begin{array}{c} 1 & 4 & 3 \\ - 2 & 3 - λ & 2 \\ - 1 & - 3 & - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ & 3 \\ - 2 & 1 & 2 \\ - 1 & - 2 & - λ \end{array} | + 0$

Étape 5.3.5.1.2.3.2.2

Utilisez la règle de puissance

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$p (λ) = (2 - λ) (2 λ^{2} - 6 λ + 12 - λ^{2 + 1} - λ (- 3 λ) - λ \cdot 6 - 4 (- λ + 4) + 3 (- 2 λ + 3)) - 3 | \begin{array}{c} 1 & 4 & 3 \\ - 2 & 3 - λ & 2 \\ - 1 & - 3 & - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ & 3 \\ - 2 & 1 & 2 \\ - 1 & - 2 & - λ \end{array} | + 0$

Étape 5.3.5.1.2.3.3

Additionnez

$2$ et

$1$ .

$p (λ) = (2 - λ) (2 λ^{2} - 6 λ + 12 - λ^{3} - λ (- 3 λ) - λ \cdot 6 - 4 (- λ + 4) + 3 (- 2 λ + 3)) - 3 | \begin{array}{c} 1 & 4 & 3 \\ - 2 & 3 - λ & 2 \\ - 1 & - 3 & - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ & 3 \\ - 2 & 1 & 2 \\ - 1 & - 2 & - λ \end{array} | + 0$

Étape 5.3.5.1.2.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = (2 - λ) (2 λ^{2} - 6 λ + 12 - λ^{3} - 1 \cdot - 3 λ \cdot λ - λ \cdot 6 - 4 (- λ + 4) + 3 (- 2 λ + 3)) - 3 | \begin{array}{c} 1 & 4 & 3 \\ - 2 & 3 - λ & 2 \\ - 1 & - 3 & - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ & 3 \\ - 2 & 1 & 2 \\ - 1 & - 2 & - λ \end{array} | + 0$

Étape 5.3.5.1.2.5

Multipliez

$λ$ par

$λ$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.3.5.1.2.5.1

Déplacez

$λ$ .

$p (λ) = (2 - λ) (2 λ^{2} - 6 λ + 12 - λ^{3} - 1 \cdot - 3 (λ \cdot λ) - λ \cdot 6 - 4 (- λ + 4) + 3 (- 2 λ + 3)) - 3 | \begin{array}{c} 1 & 4 & 3 \\ - 2 & 3 - λ & 2 \\ - 1 & - 3 & - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ & 3 \\ - 2 & 1 & 2 \\ - 1 & - 2 & - λ \end{array} | + 0$

Étape 5.3.5.1.2.5.2

Multipliez

$λ$ par

$λ$ .

$p (λ) = (2 - λ) (2 λ^{2} - 6 λ + 12 - λ^{3} - 1 \cdot - 3 λ^{2} - λ \cdot 6 - 4 (- λ + 4) + 3 (- 2 λ + 3)) - 3 | \begin{array}{c} 1 & 4 & 3 \\ - 2 & 3 - λ & 2 \\ - 1 & - 3 & - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ & 3 \\ - 2 & 1 & 2 \\ - 1 & - 2 & - λ \end{array} | + 0$

Étape 5.3.5.1.2.6

Multipliez

$- 1$ par

$- 3$ .

$p (λ) = (2 - λ) (2 λ^{2} - 6 λ + 12 - λ^{3} + 3 λ^{2} - λ \cdot 6 - 4 (- λ + 4) + 3 (- 2 λ + 3)) - 3 | \begin{array}{c} 1 & 4 & 3 \\ - 2 & 3 - λ & 2 \\ - 1 & - 3 & - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ & 3 \\ - 2 & 1 & 2 \\ - 1 & - 2 & - λ \end{array} | + 0$

Étape 5.3.5.1.2.7

Multipliez

$6$ par

$- 1$ .

$p (λ) = (2 - λ) (2 λ^{2} - 6 λ + 12 - λ^{3} + 3 λ^{2} - 6 λ - 4 (- λ + 4) + 3 (- 2 λ + 3)) - 3 | \begin{array}{c} 1 & 4 & 3 \\ - 2 & 3 - λ & 2 \\ - 1 & - 3 & - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ & 3 \\ - 2 & 1 & 2 \\ - 1 & - 2 & - λ \end{array} | + 0$

Étape 5.3.5.1.3

Additionnez

$2 λ^{2}$ et

$3 λ^{2}$ .

$p (λ) = (2 - λ) (5 λ^{2} - 6 λ + 12 - λ^{3} - 6 λ - 4 (- λ + 4) + 3 (- 2 λ + 3)) - 3 | \begin{array}{c} 1 & 4 & 3 \\ - 2 & 3 - λ & 2 \\ - 1 & - 3 & - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ & 3 \\ - 2 & 1 & 2 \\ - 1 & - 2 & - λ \end{array} | + 0$

Étape 5.3.5.1.4

Soustrayez

$6 λ$ de

$- 6 λ$ .

$p (λ) = (2 - λ) (5 λ^{2} - 12 λ + 12 - λ^{3} - 4 (- λ + 4) + 3 (- 2 λ + 3)) - 3 | \begin{array}{c} 1 & 4 & 3 \\ - 2 & 3 - λ & 2 \\ - 1 & - 3 & - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ & 3 \\ - 2 & 1 & 2 \\ - 1 & - 2 & - λ \end{array} | + 0$

Étape 5.3.5.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (2 - λ) (5 λ^{2} - 12 λ + 12 - λ^{3} - 4 (- λ) - 4 \cdot 4 + 3 (- 2 λ + 3)) - 3 | \begin{array}{c} 1 & 4 & 3 \\ - 2 & 3 - λ & 2 \\ - 1 & - 3 & - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ & 3 \\ - 2 & 1 & 2 \\ - 1 & - 2 & - λ \end{array} | + 0$

Étape 5.3.5.1.6

Multipliez

$- 1$ par

$- 4$ .

$p (λ) = (2 - λ) (5 λ^{2} - 12 λ + 12 - λ^{3} + 4 λ - 4 \cdot 4 + 3 (- 2 λ + 3)) - 3 | \begin{array}{c} 1 & 4 & 3 \\ - 2 & 3 - λ & 2 \\ - 1 & - 3 & - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ & 3 \\ - 2 & 1 & 2 \\ - 1 & - 2 & - λ \end{array} | + 0$

Étape 5.3.5.1.7

Multipliez

$- 4$ par

$4$ .

$p (λ) = (2 - λ) (5 λ^{2} - 12 λ + 12 - λ^{3} + 4 λ - 16 + 3 (- 2 λ + 3)) - 3 | \begin{array}{c} 1 & 4 & 3 \\ - 2 & 3 - λ & 2 \\ - 1 & - 3 & - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ & 3 \\ - 2 & 1 & 2 \\ - 1 & - 2 & - λ \end{array} | + 0$

Étape 5.3.5.1.8

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (2 - λ) (5 λ^{2} - 12 λ + 12 - λ^{3} + 4 λ - 16 + 3 (- 2 λ) + 3 \cdot 3) - 3 | \begin{array}{c} 1 & 4 & 3 \\ - 2 & 3 - λ & 2 \\ - 1 & - 3 & - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ & 3 \\ - 2 & 1 & 2 \\ - 1 & - 2 & - λ \end{array} | + 0$

Étape 5.3.5.1.9

Multipliez

$- 2$ par

$3$ .

$p (λ) = (2 - λ) (5 λ^{2} - 12 λ + 12 - λ^{3} + 4 λ - 16 - 6 λ + 3 \cdot 3) - 3 | \begin{array}{c} 1 & 4 & 3 \\ - 2 & 3 - λ & 2 \\ - 1 & - 3 & - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ & 3 \\ - 2 & 1 & 2 \\ - 1 & - 2 & - λ \end{array} | + 0$

Étape 5.3.5.1.10

Multipliez

$3$ par

$3$ .

$p (λ) = (2 - λ) (5 λ^{2} - 12 λ + 12 - λ^{3} + 4 λ - 16 - 6 λ + 9) - 3 | \begin{array}{c} 1 & 4 & 3 \\ - 2 & 3 - λ & 2 \\ - 1 & - 3 & - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ & 3 \\ - 2 & 1 & 2 \\ - 1 & - 2 & - λ \end{array} | + 0$

Étape 5.3.5.2

Additionnez

$- 12 λ$ et

$4 λ$ .

$p (λ) = (2 - λ) (5 λ^{2} - 8 λ + 12 - λ^{3} - 16 - 6 λ + 9) - 3 | \begin{array}{c} 1 & 4 & 3 \\ - 2 & 3 - λ & 2 \\ - 1 & - 3 & - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ & 3 \\ - 2 & 1 & 2 \\ - 1 & - 2 & - λ \end{array} | + 0$

Étape 5.3.5.3

Soustrayez

$6 λ$ de

$- 8 λ$ .

$p (λ) = (2 - λ) (5 λ^{2} - 14 λ + 12 - λ^{3} - 16 + 9) - 3 | \begin{array}{c} 1 & 4 & 3 \\ - 2 & 3 - λ & 2 \\ - 1 & - 3 & - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ & 3 \\ - 2 & 1 & 2 \\ - 1 & - 2 & - λ \end{array} | + 0$

Étape 5.3.5.4

Soustrayez

$16$ de

$12$ .

$p (λ) = (2 - λ) (5 λ^{2} - 14 λ - λ^{3} - 4 + 9) - 3 | \begin{array}{c} 1 & 4 & 3 \\ - 2 & 3 - λ & 2 \\ - 1 & - 3 & - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ & 3 \\ - 2 & 1 & 2 \\ - 1 & - 2 & - λ \end{array} | + 0$

Étape 5.3.5.5

Additionnez

$- 4$ et

$9$ .

$p (λ) = (2 - λ) (5 λ^{2} - 14 λ - λ^{3} + 5) - 3 | \begin{array}{c} 1 & 4 & 3 \\ - 2 & 3 - λ & 2 \\ - 1 & - 3 & - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ & 3 \\ - 2 & 1 & 2 \\ - 1 & - 2 & - λ \end{array} | + 0$

Étape 5.3.5.6

Déplacez

$- 14 λ$ .

$p (λ) = (2 - λ) (5 λ^{2} - λ^{3} - 14 λ + 5) - 3 | \begin{array}{c} 1 & 4 & 3 \\ - 2 & 3 - λ & 2 \\ - 1 & - 3 & - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ & 3 \\ - 2 & 1 & 2 \\ - 1 & - 2 & - λ \end{array} | + 0$

Étape 5.3.5.7

Remettez dans l’ordre

$5 λ^{2}$ et

$- λ^{3}$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 14 λ + 5) - 3 | \begin{array}{c} 1 & 4 & 3 \\ - 2 & 3 - λ & 2 \\ - 1 & - 3 & - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ & 3 \\ - 2 & 1 & 2 \\ - 1 & - 2 & - λ \end{array} | + 0$

Étape 5.4

Évaluez

$| \begin{array}{c} 1 & 4 & 3 \\ - 2 & 3 - λ & 2 \\ - 1 & - 3 & - λ \end{array} |$ .

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Étape 5.4.1

Choose the row or column with the most

$0$ elements. If there are no

$0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row

$2$ by its cofactor and add.

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Étape 5.4.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 5.4.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a

$-$ position on the sign chart.

Étape 5.4.1.3

The minor for

$a_{21}$ is the determinant with row

$2$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & 3 \\ - 3 & - λ \end{array} |$

Étape 5.4.1.4

Multiply element

$a_{21}$ by its cofactor.

$2 | \begin{array}{c} 4 & 3 \\ - 3 & - λ \end{array} |$

Étape 5.4.1.5

The minor for

$a_{22}$ is the determinant with row

$2$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 3 \\ - 1 & - λ \end{array} |$

Étape 5.4.1.6

Multiply element

$a_{22}$ by its cofactor.

$(3 - λ) | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ - 1 & - λ \end{array} |$

Étape 5.4.1.7

The minor for

$a_{23}$ is the determinant with row

$2$ and column

$3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 4 \\ - 1 & - 3 \end{array} |$

Étape 5.4.1.8

Multiply element

$a_{23}$ by its cofactor.

$- 2 | \begin{array}{c} 1 & 4 \\ - 1 & - 3 \end{array} |$

Étape 5.4.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (2 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 14 λ + 5) - 3 (2 | \begin{array}{c} 4 & 3 \\ - 3 & - λ \end{array} | + (3 - λ) | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ - 1 & - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 4 \\ - 1 & - 3 \end{array} |) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ & 3 \\ - 2 & 1 & 2 \\ - 1 & - 2 & - λ \end{array} | + 0$

Étape 5.4.2

Évaluez

$| \begin{array}{c} 4 & 3 \\ - 3 & - λ \end{array} |$ .

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Étape 5.4.2.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 14 λ + 5) - 3 (2 (4 (- λ) - (- 3 \cdot 3)) + (3 - λ) | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ - 1 & - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 4 \\ - 1 & - 3 \end{array} |) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ & 3 \\ - 2 & 1 & 2 \\ - 1 & - 2 & - λ \end{array} | + 0$

Étape 5.4.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.2.2.1

Multipliez

$- 1$ par

$4$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 14 λ + 5) - 3 (2 (- 4 λ - (- 3 \cdot 3)) + (3 - λ) | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ - 1 & - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 4 \\ - 1 & - 3 \end{array} |) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ & 3 \\ - 2 & 1 & 2 \\ - 1 & - 2 & - λ \end{array} | + 0$

Étape 5.4.2.2.2

Multipliez

$- (- 3 \cdot 3)$ .

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Étape 5.4.2.2.2.1

Multipliez

$- 3$ par

$3$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 14 λ + 5) - 3 (2 (- 4 λ - - 9) + (3 - λ) | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ - 1 & - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 4 \\ - 1 & - 3 \end{array} |) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ & 3 \\ - 2 & 1 & 2 \\ - 1 & - 2 & - λ \end{array} | + 0$

Étape 5.4.2.2.2.2

Multipliez

$- 1$ par

$- 9$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 14 λ + 5) - 3 (2 (- 4 λ + 9) + (3 - λ) | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ - 1 & - λ \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 1 & 4 \\ - 1 & - 3 \end{array} |) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ & 3 \\ - 2 & 1 & 2 \\ - 1 & - 2 & - λ \end{array} | + 0$

Étape 5.4.3

Évaluez

$| \begin{array}{c} 1 & 3 \\ - 1 & - λ \end{array} |$ .

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Étape 5.4.3.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 14 λ + 5) - 3 (2 (- 4 λ + 9) + (3 - λ) (1 (- λ) - (- 1 \cdot 3)) - 2 | \begin{array}{c} 1 & 4 \\ - 1 & - 3 \end{array} |) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ & 3 \\ - 2 & 1 & 2 \\ - 1 & - 2 & - λ \end{array} | + 0$

Étape 5.4.3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.3.2.1

Multipliez

$- λ$ par

$1$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 14 λ + 5) - 3 (2 (- 4 λ + 9) + (3 - λ) (- λ - (- 1 \cdot 3)) - 2 | \begin{array}{c} 1 & 4 \\ - 1 & - 3 \end{array} |) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ & 3 \\ - 2 & 1 & 2 \\ - 1 & - 2 & - λ \end{array} | + 0$

Étape 5.4.3.2.2

Multipliez

$- (- 1 \cdot 3)$ .

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Étape 5.4.3.2.2.1

Multipliez

$- 1$ par

$3$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 14 λ + 5) - 3 (2 (- 4 λ + 9) + (3 - λ) (- λ - - 3) - 2 | \begin{array}{c} 1 & 4 \\ - 1 & - 3 \end{array} |) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ & 3 \\ - 2 & 1 & 2 \\ - 1 & - 2 & - λ \end{array} | + 0$

Étape 5.4.3.2.2.2

Multipliez

$- 1$ par

$- 3$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 14 λ + 5) - 3 (2 (- 4 λ + 9) + (3 - λ) (- λ + 3) - 2 | \begin{array}{c} 1 & 4 \\ - 1 & - 3 \end{array} |) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ & 3 \\ - 2 & 1 & 2 \\ - 1 & - 2 & - λ \end{array} | + 0$

Étape 5.4.4

Évaluez

$| \begin{array}{c} 1 & 4 \\ - 1 & - 3 \end{array} |$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.4.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 14 λ + 5) - 3 (2 (- 4 λ + 9) + (3 - λ) (- λ + 3) - 2 (1 \cdot - 3 - (- 1 \cdot 4))) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ & 3 \\ - 2 & 1 & 2 \\ - 1 & - 2 & - λ \end{array} | + 0$

Étape 5.4.4.2

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.4.2.1.1

Multipliez

$- 3$ par

$1$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 14 λ + 5) - 3 (2 (- 4 λ + 9) + (3 - λ) (- λ + 3) - 2 (- 3 - (- 1 \cdot 4))) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ & 3 \\ - 2 & 1 & 2 \\ - 1 & - 2 & - λ \end{array} | + 0$

Étape 5.4.4.2.1.2

Multipliez

$- (- 1 \cdot 4)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.4.2.1.2.1

Multipliez

$- 1$ par

$4$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 14 λ + 5) - 3 (2 (- 4 λ + 9) + (3 - λ) (- λ + 3) - 2 (- 3 - - 4)) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ & 3 \\ - 2 & 1 & 2 \\ - 1 & - 2 & - λ \end{array} | + 0$

Étape 5.4.4.2.1.2.2

Multipliez

$- 1$ par

$- 4$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 14 λ + 5) - 3 (2 (- 4 λ + 9) + (3 - λ) (- λ + 3) - 2 (- 3 + 4)) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ & 3 \\ - 2 & 1 & 2 \\ - 1 & - 2 & - λ \end{array} | + 0$

Étape 5.4.4.2.2

Additionnez

$- 3$ et

$4$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 14 λ + 5) - 3 (2 (- 4 λ + 9) + (3 - λ) (- λ + 3) - 2 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ & 3 \\ - 2 & 1 & 2 \\ - 1 & - 2 & - λ \end{array} | + 0$

Étape 5.4.5

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.5.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.5.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (2 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 14 λ + 5) - 3 (2 (- 4 λ) + 2 \cdot 9 + (3 - λ) (- λ + 3) - 2 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ & 3 \\ - 2 & 1 & 2 \\ - 1 & - 2 & - λ \end{array} | + 0$

Étape 5.4.5.1.2

Multipliez

$- 4$ par

$2$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 14 λ + 5) - 3 (- 8 λ + 2 \cdot 9 + (3 - λ) (- λ + 3) - 2 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ & 3 \\ - 2 & 1 & 2 \\ - 1 & - 2 & - λ \end{array} | + 0$

Étape 5.4.5.1.3

Multipliez

$2$ par

$9$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 14 λ + 5) - 3 (- 8 λ + 18 + (3 - λ) (- λ + 3) - 2 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ & 3 \\ - 2 & 1 & 2 \\ - 1 & - 2 & - λ \end{array} | + 0$

Étape 5.4.5.1.4

Développez

$(3 - λ) (- λ + 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.5.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (2 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 14 λ + 5) - 3 (- 8 λ + 18 + 3 (- λ + 3) - λ (- λ + 3) - 2 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ & 3 \\ - 2 & 1 & 2 \\ - 1 & - 2 & - λ \end{array} | + 0$

Étape 5.4.5.1.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (2 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 14 λ + 5) - 3 (- 8 λ + 18 + 3 (- λ) + 3 \cdot 3 - λ (- λ + 3) - 2 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ & 3 \\ - 2 & 1 & 2 \\ - 1 & - 2 & - λ \end{array} | + 0$

Étape 5.4.5.1.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (2 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 14 λ + 5) - 3 (- 8 λ + 18 + 3 (- λ) + 3 \cdot 3 - λ (- λ) - λ \cdot 3 - 2 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ & 3 \\ - 2 & 1 & 2 \\ - 1 & - 2 & - λ \end{array} | + 0$

Étape 5.4.5.1.5

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.4.5.1.5.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.5.1.5.1.1

Multipliez

$- 1$ par

$3$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 14 λ + 5) - 3 (- 8 λ + 18 - 3 λ + 3 \cdot 3 - λ (- λ) - λ \cdot 3 - 2 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ & 3 \\ - 2 & 1 & 2 \\ - 1 & - 2 & - λ \end{array} | + 0$

Étape 5.4.5.1.5.1.2

Multipliez

$3$ par

$3$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 14 λ + 5) - 3 (- 8 λ + 18 - 3 λ + 9 - λ (- λ) - λ \cdot 3 - 2 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ & 3 \\ - 2 & 1 & 2 \\ - 1 & - 2 & - λ \end{array} | + 0$

Étape 5.4.5.1.5.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = (2 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 14 λ + 5) - 3 (- 8 λ + 18 - 3 λ + 9 - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - λ \cdot 3 - 2 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ & 3 \\ - 2 & 1 & 2 \\ - 1 & - 2 & - λ \end{array} | + 0$

Étape 5.4.5.1.5.1.4

Multipliez

$λ$ par

$λ$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.4.5.1.5.1.4.1

Déplacez

$λ$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 14 λ + 5) - 3 (- 8 λ + 18 - 3 λ + 9 - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - λ \cdot 3 - 2 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ & 3 \\ - 2 & 1 & 2 \\ - 1 & - 2 & - λ \end{array} | + 0$

Étape 5.4.5.1.5.1.4.2

Multipliez

$λ$ par

$λ$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 14 λ + 5) - 3 (- 8 λ + 18 - 3 λ + 9 - 1 \cdot - 1 λ^{2} - λ \cdot 3 - 2 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ & 3 \\ - 2 & 1 & 2 \\ - 1 & - 2 & - λ \end{array} | + 0$

Étape 5.4.5.1.5.1.5

Multipliez

$- 1$ par

$- 1$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 14 λ + 5) - 3 (- 8 λ + 18 - 3 λ + 9 + 1 λ^{2} - λ \cdot 3 - 2 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ & 3 \\ - 2 & 1 & 2 \\ - 1 & - 2 & - λ \end{array} | + 0$

Étape 5.4.5.1.5.1.6

Multipliez

$λ^{2}$ par

$1$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 14 λ + 5) - 3 (- 8 λ + 18 - 3 λ + 9 + λ^{2} - λ \cdot 3 - 2 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ & 3 \\ - 2 & 1 & 2 \\ - 1 & - 2 & - λ \end{array} | + 0$

Étape 5.4.5.1.5.1.7

Multipliez

$3$ par

$- 1$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 14 λ + 5) - 3 (- 8 λ + 18 - 3 λ + 9 + λ^{2} - 3 λ - 2 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ & 3 \\ - 2 & 1 & 2 \\ - 1 & - 2 & - λ \end{array} | + 0$

Étape 5.4.5.1.5.2

Soustrayez

$3 λ$ de

$- 3 λ$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 14 λ + 5) - 3 (- 8 λ + 18 - 6 λ + 9 + λ^{2} - 2 \cdot 1) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ & 3 \\ - 2 & 1 & 2 \\ - 1 & - 2 & - λ \end{array} | + 0$

Étape 5.4.5.1.6

Multipliez

$- 2$ par

$1$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 14 λ + 5) - 3 (- 8 λ + 18 - 6 λ + 9 + λ^{2} - 2) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ & 3 \\ - 2 & 1 & 2 \\ - 1 & - 2 & - λ \end{array} | + 0$

Étape 5.4.5.2

Soustrayez

$6 λ$ de

$- 8 λ$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 14 λ + 5) - 3 (- 14 λ + 18 + 9 + λ^{2} - 2) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ & 3 \\ - 2 & 1 & 2 \\ - 1 & - 2 & - λ \end{array} | + 0$

Étape 5.4.5.3

Additionnez

$18$ et

$9$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 14 λ + 5) - 3 (- 14 λ + 27 + λ^{2} - 2) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ & 3 \\ - 2 & 1 & 2 \\ - 1 & - 2 & - λ \end{array} | + 0$

Étape 5.4.5.4

Soustrayez

$2$ de

$27$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 14 λ + 5) - 3 (- 14 λ + λ^{2} + 25) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ & 3 \\ - 2 & 1 & 2 \\ - 1 & - 2 & - λ \end{array} | + 0$

Étape 5.4.5.5

Remettez dans l’ordre

$- 14 λ$ et

$λ^{2}$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 14 λ + 5) - 3 (λ^{2} - 14 λ + 25) - 1 | \begin{array}{c} 1 & 2 - λ & 3 \\ - 2 & 1 & 2 \\ - 1 & - 2 & - λ \end{array} | + 0$

Étape 5.5

Évaluez

$| \begin{array}{c} 1 & 2 - λ & 3 \\ - 2 & 1 & 2 \\ - 1 & - 2 & - λ \end{array} |$ .

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Étape 5.5.1

Choose the row or column with the most

$0$ elements. If there are no

$0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row

$1$ by its cofactor and add.

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Étape 5.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 5.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a

$-$ position on the sign chart.

Étape 5.5.1.3

The minor for

$a_{11}$ is the determinant with row

$1$ and column

$1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ - 2 & - λ \end{array} |$

Étape 5.5.1.4

Multiply element

$a_{11}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ - 2 & - λ \end{array} |$

Étape 5.5.1.5

The minor for

$a_{12}$ is the determinant with row

$1$ and column

$2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ - 1 & - λ \end{array} |$

Étape 5.5.1.6

Multiply element

$a_{12}$ by its cofactor.

$- (2 - λ) | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ - 1 & - λ \end{array} |$

Étape 5.5.1.7

The minor for

$a_{13}$ is the determinant with row

$1$ and column

$3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ - 1 & - 2 \end{array} |$

Étape 5.5.1.8

Multiply element

$a_{13}$ by its cofactor.

$3 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ - 1 & - 2 \end{array} |$

Étape 5.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (2 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 14 λ + 5) - 3 (λ^{2} - 14 λ + 25) - 1 (1 | \begin{array}{c} 1 & 2 \\ - 2 & - λ \end{array} | - (2 - λ) | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ - 1 & - λ \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ - 1 & - 2 \end{array} |) + 0$

Étape 5.5.2

Évaluez

$| \begin{array}{c} 1 & 2 \\ - 2 & - λ \end{array} |$ .

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Étape 5.5.2.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 14 λ + 5) - 3 (λ^{2} - 14 λ + 25) - 1 (1 (1 (- λ) - (- 2 \cdot 2)) - (2 - λ) | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ - 1 & - λ \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ - 1 & - 2 \end{array} |) + 0$

Étape 5.5.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.5.2.2.1

Multipliez

$- λ$ par

$1$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 14 λ + 5) - 3 (λ^{2} - 14 λ + 25) - 1 (1 (- λ - (- 2 \cdot 2)) - (2 - λ) | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ - 1 & - λ \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ - 1 & - 2 \end{array} |) + 0$

Étape 5.5.2.2.2

Multipliez

$- (- 2 \cdot 2)$ .

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Étape 5.5.2.2.2.1

Multipliez

$- 2$ par

$2$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 14 λ + 5) - 3 (λ^{2} - 14 λ + 25) - 1 (1 (- λ - - 4) - (2 - λ) | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ - 1 & - λ \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ - 1 & - 2 \end{array} |) + 0$

Étape 5.5.2.2.2.2

Multipliez

$- 1$ par

$- 4$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 14 λ + 5) - 3 (λ^{2} - 14 λ + 25) - 1 (1 (- λ + 4) - (2 - λ) | \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ - 1 & - λ \end{array} | + 3 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ - 1 & - 2 \end{array} |) + 0$

Étape 5.5.3

Évaluez

$| \begin{array}{c} - 2 & 2 \\ - 1 & - λ \end{array} |$ .

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Étape 5.5.3.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 14 λ + 5) - 3 (λ^{2} - 14 λ + 25) - 1 (1 (- λ + 4) - (2 - λ) (- 2 (- λ) - (- 1 \cdot 2)) + 3 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ - 1 & - 2 \end{array} |) + 0$

Étape 5.5.3.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.3.2.1

Multipliez

$- 1$ par

$- 2$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 14 λ + 5) - 3 (λ^{2} - 14 λ + 25) - 1 (1 (- λ + 4) - (2 - λ) (2 λ - (- 1 \cdot 2)) + 3 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ - 1 & - 2 \end{array} |) + 0$

Étape 5.5.3.2.2

Multipliez

$- (- 1 \cdot 2)$ .

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Étape 5.5.3.2.2.1

Multipliez

$- 1$ par

$2$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 14 λ + 5) - 3 (λ^{2} - 14 λ + 25) - 1 (1 (- λ + 4) - (2 - λ) (2 λ - - 2) + 3 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ - 1 & - 2 \end{array} |) + 0$

Étape 5.5.3.2.2.2

Multipliez

$- 1$ par

$- 2$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 14 λ + 5) - 3 (λ^{2} - 14 λ + 25) - 1 (1 (- λ + 4) - (2 - λ) (2 λ + 2) + 3 | \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ - 1 & - 2 \end{array} |) + 0$

Étape 5.5.4

Évaluez

$| \begin{array}{c} - 2 & 1 \\ - 1 & - 2 \end{array} |$ .

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Étape 5.5.4.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 14 λ + 5) - 3 (λ^{2} - 14 λ + 25) - 1 (1 (- λ + 4) - (2 - λ) (2 λ + 2) + 3 (- 2 \cdot - 2 - (- 1 \cdot 1))) + 0$

Étape 5.5.4.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.5.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.4.2.1.1

Multipliez

$- 2$ par

$- 2$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 14 λ + 5) - 3 (λ^{2} - 14 λ + 25) - 1 (1 (- λ + 4) - (2 - λ) (2 λ + 2) + 3 (4 - (- 1 \cdot 1))) + 0$

Étape 5.5.4.2.1.2

Multipliez

$- (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 5.5.4.2.1.2.1

Multipliez

$- 1$ par

$1$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 14 λ + 5) - 3 (λ^{2} - 14 λ + 25) - 1 (1 (- λ + 4) - (2 - λ) (2 λ + 2) + 3 (4 - - 1)) + 0$

Étape 5.5.4.2.1.2.2

Multipliez

$- 1$ par

$- 1$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 14 λ + 5) - 3 (λ^{2} - 14 λ + 25) - 1 (1 (- λ + 4) - (2 - λ) (2 λ + 2) + 3 (4 + 1)) + 0$

Étape 5.5.4.2.2

Additionnez

$4$ et

$1$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 14 λ + 5) - 3 (λ^{2} - 14 λ + 25) - 1 (1 (- λ + 4) - (2 - λ) (2 λ + 2) + 3 \cdot 5) + 0$

Étape 5.5.5

Simplifiez le déterminant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.5.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.5.1.1

Multipliez

$- λ + 4$ par

$1$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 14 λ + 5) - 3 (λ^{2} - 14 λ + 25) - 1 (- λ + 4 - (2 - λ) (2 λ + 2) + 3 \cdot 5) + 0$

Étape 5.5.5.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (2 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 14 λ + 5) - 3 (λ^{2} - 14 λ + 25) - 1 (- λ + 4 + (- 1 \cdot 2 - - λ) (2 λ + 2) + 3 \cdot 5) + 0$

Étape 5.5.5.1.3

Multipliez

$- 1$ par

$2$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 14 λ + 5) - 3 (λ^{2} - 14 λ + 25) - 1 (- λ + 4 + (- 2 - - λ) (2 λ + 2) + 3 \cdot 5) + 0$

Étape 5.5.5.1.4

Multipliez

$- - λ$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.5.1.4.1

Multipliez

$- 1$ par

$- 1$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 14 λ + 5) - 3 (λ^{2} - 14 λ + 25) - 1 (- λ + 4 + (- 2 + 1 λ) (2 λ + 2) + 3 \cdot 5) + 0$

Étape 5.5.5.1.4.2

Multipliez

$λ$ par

$1$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 14 λ + 5) - 3 (λ^{2} - 14 λ + 25) - 1 (- λ + 4 + (- 2 + λ) (2 λ + 2) + 3 \cdot 5) + 0$

Étape 5.5.5.1.5

Développez

$(- 2 + λ) (2 λ + 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.5.1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (2 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 14 λ + 5) - 3 (λ^{2} - 14 λ + 25) - 1 (- λ + 4 - 2 (2 λ + 2) + λ (2 λ + 2) + 3 \cdot 5) + 0$

Étape 5.5.5.1.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (2 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 14 λ + 5) - 3 (λ^{2} - 14 λ + 25) - 1 (- λ + 4 - 2 (2 λ) - 2 \cdot 2 + λ (2 λ + 2) + 3 \cdot 5) + 0$

Étape 5.5.5.1.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = (2 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 14 λ + 5) - 3 (λ^{2} - 14 λ + 25) - 1 (- λ + 4 - 2 (2 λ) - 2 \cdot 2 + λ (2 λ) + λ \cdot 2 + 3 \cdot 5) + 0$

Étape 5.5.5.1.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.5.5.1.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.5.5.1.6.1.1

Multipliez

$2$ par

$- 2$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 14 λ + 5) - 3 (λ^{2} - 14 λ + 25) - 1 (- λ + 4 - 4 λ - 2 \cdot 2 + λ (2 λ) + λ \cdot 2 + 3 \cdot 5) + 0$

Étape 5.5.5.1.6.1.2

Multipliez

$- 2$ par

$2$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 14 λ + 5) - 3 (λ^{2} - 14 λ + 25) - 1 (- λ + 4 - 4 λ - 4 + λ (2 λ) + λ \cdot 2 + 3 \cdot 5) + 0$

Étape 5.5.5.1.6.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = (2 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 14 λ + 5) - 3 (λ^{2} - 14 λ + 25) - 1 (- λ + 4 - 4 λ - 4 + 2 λ \cdot λ + λ \cdot 2 + 3 \cdot 5) + 0$

Étape 5.5.5.1.6.1.4

Multipliez

$λ$ par

$λ$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.5.5.1.6.1.4.1

Déplacez

$λ$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 14 λ + 5) - 3 (λ^{2} - 14 λ + 25) - 1 (- λ + 4 - 4 λ - 4 + 2 (λ \cdot λ) + λ \cdot 2 + 3 \cdot 5) + 0$

Étape 5.5.5.1.6.1.4.2

Multipliez

$λ$ par

$λ$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 14 λ + 5) - 3 (λ^{2} - 14 λ + 25) - 1 (- λ + 4 - 4 λ - 4 + 2 λ^{2} + λ \cdot 2 + 3 \cdot 5) + 0$

Étape 5.5.5.1.6.1.5

Déplacez $2$ à gauche de $λ$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 14 λ + 5) - 3 (λ^{2} - 14 λ + 25) - 1 (- λ + 4 - 4 λ - 4 + 2 λ^{2} + 2 λ + 3 \cdot 5) + 0$

Étape 5.5.5.1.6.2

Additionnez $- 4 λ$ et $2 λ$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 14 λ + 5) - 3 (λ^{2} - 14 λ + 25) - 1 (- λ + 4 - 2 λ - 4 + 2 λ^{2} + 3 \cdot 5) + 0$

Étape 5.5.5.1.7

Multipliez $3$ par $5$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 14 λ + 5) - 3 (λ^{2} - 14 λ + 25) - 1 (- λ + 4 - 2 λ - 4 + 2 λ^{2} + 15) + 0$

Étape 5.5.5.2

Associez les termes opposés dans $- λ + 4 - 2 λ - 4 + 2 λ^{2} + 15$ .

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Étape 5.5.5.2.1

Soustrayez $4$ de $4$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 14 λ + 5) - 3 (λ^{2} - 14 λ + 25) - 1 (- λ - 2 λ + 0 + 2 λ^{2} + 15) + 0$

Étape 5.5.5.2.2

Additionnez $- λ - 2 λ$ et $0$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 14 λ + 5) - 3 (λ^{2} - 14 λ + 25) - 1 (- λ - 2 λ + 2 λ^{2} + 15) + 0$

Étape 5.5.5.3

Soustrayez $2 λ$ de $- λ$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 14 λ + 5) - 3 (λ^{2} - 14 λ + 25) - 1 (- 3 λ + 2 λ^{2} + 15) + 0$

Étape 5.5.5.4

Remettez dans l’ordre $- 3 λ$ et $2 λ^{2}$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 14 λ + 5) - 3 (λ^{2} - 14 λ + 25) - 1 (2 λ^{2} - 3 λ + 15) + 0$

Étape 5.6

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.6.1

Additionnez $(2 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 14 λ + 5) - 3 (λ^{2} - 14 λ + 25) - 1 (2 λ^{2} - 3 λ + 15)$ et $0$ .

$p (λ) = (2 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 14 λ + 5) - 3 (λ^{2} - 14 λ + 25) - 1 (2 λ^{2} - 3 λ + 15)$

Étape 5.6.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.6.2.1

Développez $(2 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 14 λ + 5)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$p (λ) = 2 (- λ^{3}) + 2 (5 λ^{2}) + 2 (- 14 λ) + 2 \cdot 5 - λ (- λ^{3}) - λ (5 λ^{2}) - λ (- 14 λ) - λ \cdot 5 - 3 (λ^{2} - 14 λ + 25) - 1 (2 λ^{2} - 3 λ + 15)$

Étape 5.6.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.6.2.2.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 2 (5 λ^{2}) + 2 (- 14 λ) + 2 \cdot 5 - λ (- λ^{3}) - λ (5 λ^{2}) - λ (- 14 λ) - λ \cdot 5 - 3 (λ^{2} - 14 λ + 25) - 1 (2 λ^{2} - 3 λ + 15)$

Étape 5.6.2.2.2

Multipliez $5$ par $2$ .

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 10 λ^{2} + 2 (- 14 λ) + 2 \cdot 5 - λ (- λ^{3}) - λ (5 λ^{2}) - λ (- 14 λ) - λ \cdot 5 - 3 (λ^{2} - 14 λ + 25) - 1 (2 λ^{2} - 3 λ + 15)$

Étape 5.6.2.2.3

Multipliez $- 14$ par $2$ .

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 10 λ^{2} - 28 λ + 2 \cdot 5 - λ (- λ^{3}) - λ (5 λ^{2}) - λ (- 14 λ) - λ \cdot 5 - 3 (λ^{2} - 14 λ + 25) - 1 (2 λ^{2} - 3 λ + 15)$

Étape 5.6.2.2.4

Multipliez $2$ par $5$ .

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 10 λ^{2} - 28 λ + 10 - λ (- λ^{3}) - λ (5 λ^{2}) - λ (- 14 λ) - λ \cdot 5 - 3 (λ^{2} - 14 λ + 25) - 1 (2 λ^{2} - 3 λ + 15)$

Étape 5.6.2.2.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 10 λ^{2} - 28 λ + 10 - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ^{3} - λ (5 λ^{2}) - λ (- 14 λ) - λ \cdot 5 - 3 (λ^{2} - 14 λ + 25) - 1 (2 λ^{2} - 3 λ + 15)$

Étape 5.6.2.2.6

Multipliez $λ$ par $λ^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.6.2.2.6.1

Déplacez $λ^{3}$ .

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 10 λ^{2} - 28 λ + 10 - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ) - λ (5 λ^{2}) - λ (- 14 λ) - λ \cdot 5 - 3 (λ^{2} - 14 λ + 25) - 1 (2 λ^{2} - 3 λ + 15)$

Étape 5.6.2.2.6.2

Multipliez $λ^{3}$ par $λ$ .

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Étape 5.6.2.2.6.2.1

Élevez $λ$ à la puissance $1$ .

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 10 λ^{2} - 28 λ + 10 - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ^{1}) - λ (5 λ^{2}) - λ (- 14 λ) - λ \cdot 5 - 3 (λ^{2} - 14 λ + 25) - 1 (2 λ^{2} - 3 λ + 15)$

Étape 5.6.2.2.6.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 10 λ^{2} - 28 λ + 10 - 1 \cdot - 1 λ^{3 + 1} - λ (5 λ^{2}) - λ (- 14 λ) - λ \cdot 5 - 3 (λ^{2} - 14 λ + 25) - 1 (2 λ^{2} - 3 λ + 15)$

Étape 5.6.2.2.6.3

Additionnez $3$ et $1$ .

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 10 λ^{2} - 28 λ + 10 - 1 \cdot - 1 λ^{4} - λ (5 λ^{2}) - λ (- 14 λ) - λ \cdot 5 - 3 (λ^{2} - 14 λ + 25) - 1 (2 λ^{2} - 3 λ + 15)$

Étape 5.6.2.2.7

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 10 λ^{2} - 28 λ + 10 + 1 λ^{4} - λ (5 λ^{2}) - λ (- 14 λ) - λ \cdot 5 - 3 (λ^{2} - 14 λ + 25) - 1 (2 λ^{2} - 3 λ + 15)$

Étape 5.6.2.2.8

Multipliez $λ^{4}$ par $1$ .

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 10 λ^{2} - 28 λ + 10 + λ^{4} - λ (5 λ^{2}) - λ (- 14 λ) - λ \cdot 5 - 3 (λ^{2} - 14 λ + 25) - 1 (2 λ^{2} - 3 λ + 15)$

Étape 5.6.2.2.9

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 10 λ^{2} - 28 λ + 10 + λ^{4} - 1 \cdot 5 λ \cdot λ^{2} - λ (- 14 λ) - λ \cdot 5 - 3 (λ^{2} - 14 λ + 25) - 1 (2 λ^{2} - 3 λ + 15)$

Étape 5.6.2.2.10

Multipliez $λ$ par $λ^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.6.2.2.10.1

Déplacez $λ^{2}$ .

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 10 λ^{2} - 28 λ + 10 + λ^{4} - 1 \cdot 5 (λ^{2} λ) - λ (- 14 λ) - λ \cdot 5 - 3 (λ^{2} - 14 λ + 25) - 1 (2 λ^{2} - 3 λ + 15)$

Étape 5.6.2.2.10.2

Multipliez $λ^{2}$ par $λ$ .

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Étape 5.6.2.2.10.2.1

Élevez $λ$ à la puissance $1$ .

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 10 λ^{2} - 28 λ + 10 + λ^{4} - 1 \cdot 5 (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 14 λ) - λ \cdot 5 - 3 (λ^{2} - 14 λ + 25) - 1 (2 λ^{2} - 3 λ + 15)$

Étape 5.6.2.2.10.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 10 λ^{2} - 28 λ + 10 + λ^{4} - 1 \cdot 5 λ^{2 + 1} - λ (- 14 λ) - λ \cdot 5 - 3 (λ^{2} - 14 λ + 25) - 1 (2 λ^{2} - 3 λ + 15)$

Étape 5.6.2.2.10.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 10 λ^{2} - 28 λ + 10 + λ^{4} - 1 \cdot 5 λ^{3} - λ (- 14 λ) - λ \cdot 5 - 3 (λ^{2} - 14 λ + 25) - 1 (2 λ^{2} - 3 λ + 15)$

Étape 5.6.2.2.11

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 10 λ^{2} - 28 λ + 10 + λ^{4} - 5 λ^{3} - λ (- 14 λ) - λ \cdot 5 - 3 (λ^{2} - 14 λ + 25) - 1 (2 λ^{2} - 3 λ + 15)$

Étape 5.6.2.2.12

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 10 λ^{2} - 28 λ + 10 + λ^{4} - 5 λ^{3} - 1 \cdot - 14 λ \cdot λ - λ \cdot 5 - 3 (λ^{2} - 14 λ + 25) - 1 (2 λ^{2} - 3 λ + 15)$

Étape 5.6.2.2.13

Multipliez $λ$ par $λ$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.6.2.2.13.1

Déplacez $λ$ .

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 10 λ^{2} - 28 λ + 10 + λ^{4} - 5 λ^{3} - 1 \cdot - 14 (λ \cdot λ) - λ \cdot 5 - 3 (λ^{2} - 14 λ + 25) - 1 (2 λ^{2} - 3 λ + 15)$

Étape 5.6.2.2.13.2

Multipliez $λ$ par $λ$ .

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 10 λ^{2} - 28 λ + 10 + λ^{4} - 5 λ^{3} - 1 \cdot - 14 λ^{2} - λ \cdot 5 - 3 (λ^{2} - 14 λ + 25) - 1 (2 λ^{2} - 3 λ + 15)$

Étape 5.6.2.2.14

Multipliez $- 1$ par $- 14$ .

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 10 λ^{2} - 28 λ + 10 + λ^{4} - 5 λ^{3} + 14 λ^{2} - λ \cdot 5 - 3 (λ^{2} - 14 λ + 25) - 1 (2 λ^{2} - 3 λ + 15)$

Étape 5.6.2.2.15

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$p (λ) = - 2 λ^{3} + 10 λ^{2} - 28 λ + 10 + λ^{4} - 5 λ^{3} + 14 λ^{2} - 5 λ - 3 (λ^{2} - 14 λ + 25) - 1 (2 λ^{2} - 3 λ + 15)$

Étape 5.6.2.3

Soustrayez $5 λ^{3}$ de $- 2 λ^{3}$ .

$p (λ) = - 7 λ^{3} + 10 λ^{2} - 28 λ + 10 + λ^{4} + 14 λ^{2} - 5 λ - 3 (λ^{2} - 14 λ + 25) - 1 (2 λ^{2} - 3 λ + 15)$

Étape 5.6.2.4

Additionnez $10 λ^{2}$ et $14 λ^{2}$ .

$p (λ) = - 7 λ^{3} + 24 λ^{2} - 28 λ + 10 + λ^{4} - 5 λ - 3 (λ^{2} - 14 λ + 25) - 1 (2 λ^{2} - 3 λ + 15)$

Étape 5.6.2.5

Soustrayez $5 λ$ de $- 28 λ$ .

$p (λ) = - 7 λ^{3} + 24 λ^{2} - 33 λ + 10 + λ^{4} - 3 (λ^{2} - 14 λ + 25) - 1 (2 λ^{2} - 3 λ + 15)$

Étape 5.6.2.6

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = - 7 λ^{3} + 24 λ^{2} - 33 λ + 10 + λ^{4} - 3 λ^{2} - 3 (- 14 λ) - 3 \cdot 25 - 1 (2 λ^{2} - 3 λ + 15)$

Étape 5.6.2.7

Simplifiez

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Étape 5.6.2.7.1

Multipliez $- 14$ par $- 3$ .

$p (λ) = - 7 λ^{3} + 24 λ^{2} - 33 λ + 10 + λ^{4} - 3 λ^{2} + 42 λ - 3 \cdot 25 - 1 (2 λ^{2} - 3 λ + 15)$

Étape 5.6.2.7.2

Multipliez $- 3$ par $25$ .

$p (λ) = - 7 λ^{3} + 24 λ^{2} - 33 λ + 10 + λ^{4} - 3 λ^{2} + 42 λ - 75 - 1 (2 λ^{2} - 3 λ + 15)$

Étape 5.6.2.8

Appliquez la propriété distributive.

$p (λ) = - 7 λ^{3} + 24 λ^{2} - 33 λ + 10 + λ^{4} - 3 λ^{2} + 42 λ - 75 - 1 (2 λ^{2}) - 1 (- 3 λ) - 1 \cdot 15$

Étape 5.6.2.9

Simplifiez

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Étape 5.6.2.9.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$p (λ) = - 7 λ^{3} + 24 λ^{2} - 33 λ + 10 + λ^{4} - 3 λ^{2} + 42 λ - 75 - 2 λ^{2} - 1 (- 3 λ) - 1 \cdot 15$

Étape 5.6.2.9.2

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$p (λ) = - 7 λ^{3} + 24 λ^{2} - 33 λ + 10 + λ^{4} - 3 λ^{2} + 42 λ - 75 - 2 λ^{2} + 3 λ - 1 \cdot 15$

Étape 5.6.2.9.3

Multipliez $- 1$ par $15$ .

$p (λ) = - 7 λ^{3} + 24 λ^{2} - 33 λ + 10 + λ^{4} - 3 λ^{2} + 42 λ - 75 - 2 λ^{2} + 3 λ - 15$

Étape 5.6.3

Soustrayez $3 λ^{2}$ de $24 λ^{2}$ .

$p (λ) = - 7 λ^{3} + 21 λ^{2} - 33 λ + 10 + λ^{4} + 42 λ - 75 - 2 λ^{2} + 3 λ - 15$

Étape 5.6.4

Soustrayez $2 λ^{2}$ de $21 λ^{2}$ .

$p (λ) = - 7 λ^{3} + 19 λ^{2} - 33 λ + 10 + λ^{4} + 42 λ - 75 + 3 λ - 15$

Étape 5.6.5

Additionnez $- 33 λ$ et $42 λ$ .

$p (λ) = - 7 λ^{3} + 19 λ^{2} + 9 λ + 10 + λ^{4} - 75 + 3 λ - 15$

Étape 5.6.6

Additionnez $9 λ$ et $3 λ$ .

$p (λ) = - 7 λ^{3} + 19 λ^{2} + 12 λ + 10 + λ^{4} - 75 - 15$

Étape 5.6.7

Soustrayez $75$ de $10$ .

$p (λ) = - 7 λ^{3} + 19 λ^{2} + 12 λ + λ^{4} - 65 - 15$

Étape 5.6.8

Soustrayez $15$ de $- 65$ .

$p (λ) = - 7 λ^{3} + 19 λ^{2} + 12 λ + λ^{4} - 80$

Étape 5.6.9

Déplacez $12 λ$ .

$p (λ) = - 7 λ^{3} + 19 λ^{2} + λ^{4} + 12 λ - 80$

Étape 5.6.10

Déplacez $19 λ^{2}$ .

$p (λ) = - 7 λ^{3} + λ^{4} + 19 λ^{2} + 12 λ - 80$

Étape 5.6.11

Remettez dans l’ordre $- 7 λ^{3}$ et $λ^{4}$ .

$p (λ) = λ^{4} - 7 λ^{3} + 19 λ^{2} + 12 λ - 80$